Tra i tanti esempi in merito ce n'è uno che è venuto fuori qualche giorno fa sulle pagine di alcuni quotidiani con conseguente diluvio di polemiche. I fatti. Una maestra americana ha dato un compito ai suoi alunni di terza elementare e ha dato un brutto voto ad uno di loro perché aveva, secondo lei, sbagliato a interpretare una semplice moltiplicazione.
Il testo del problema diceva (il grassetto è nel testo originale):
Use the repeated addition strategy to solve: 5 x 3Il bimbo ha scritto:
5 x 3 = 15 5 + 5 + 5La maestra gli ha segnato errore e gli ha tolto 1 punto e ha corretto a penna rossa la soluzione proposta dal bimbo scrivendo vicino:
3 + 3 + 3 + 3 + 3Ci sarebbe anche il secondo esercizio del compito come si vede nell'immagine, ma per ora fermiamoci a questo.
Le discussioni sul sito del Corriere sono state interminabili: c'è chi consigliava di licenziare la maestra, chi invece le dava ragione e chi, naturalmente, professandosi matematico, professore universitario o anche semplice maestro o maestra, faceva le pulci al problema evocando scenari matematici catastrofici.
Il problema è interessantissimo nonostante sembri del tutto banale. Lo sanno tutti che 5 x 3 è uguale a 3 x 5 e che in entrambi i casi il risultato è 15. Ma è davvero così? Non proprio...
Intanto, analizzando il problema dell'alunno americano, si deve capire bene cosa ha chiesto la maestra. La domanda non è «risolvi la moltiplicazione» e nemmeno «dimostra di aver capito la proprietà commutativa». La domanda è precisa e riguarda evidentemente il modo in cui la maestra ha spiegato il significato della simbologia A x B dove A e B sono due numeri (ovviamente naturali, o meglio quelli che conoscono i bimbi di terza elementare). La maestra chiede di utilizzare una certa "strategia", cioè un metodo che è definito, in inglese, come repeated addition, cioè addizione ripetuta.
Qui entra in gioco quindi la definizione di moltiplicazione e, più in particolare, la definizione che quella maestra ha dato in classe o quella che c'è nel libro di testo usato nella sua classe (che non conosciamo). Partiamo comunque da presupposto che i bimbi non conoscano ancora, per quanto possa essere intuitiva per qualcuno anche a quell'età, la proprietà commutativa, cioè quella proprietà per cui A x B = B x A.
Cosa significa allora la simbologia 5 x 3? E perché il bimbo avrebbe sbagliato? In inglese quella stringa di simboli si legge five times three, cioè "5 volte 3". Se ne deduce quindi che 5 è il cosiddetto moltiplicatore e 3 è il moltiplicando. Che, detta in altri termini, significa «prendi 3 e sommalo 5 volte», cioè ripeti la somma 5 volte. In effetti, secondo molte definizioni, la moltiplicazione non è altro che un modo più compatto per scrivere una somma ripetuta di oggetti uguali. Compro 5 lampadine che costano ognuna 3 euro, quanto spendo? Ovviamente 15 euro. Si capisce però che è ben diverso dal comperare 3 lampadine che costano ognuna 5 euro, anche se spendo uguale.
La maestra americana, criticabile finché si vuole per tanti motivi, voleva dai bimbi che dimostrassero di aver capito che 5 x 3 è, come da definizione, five times three, cioè una serie di 3 sommati 5 volte, cioè 3 + 3 + 3 + 3 + 3, cioè una somma ripetuta (repeated addition strategy).
Si potrebbe pensare che la matematica, una delle materie più precise, rigorose, ordinate e codificate, sia uguale in tutto il mondo e che il significato di certe simbologie elementari, come una semplice moltiplicazione di due numerelli, non sia opinabile, sia uguale per tutti e a tutte le latitudini. Non è così.
In America, e immagino nei paesi anglosassoni, evidentemente la definizione di 5 x 3 è quella detta sopra, cioè:
- 5 è il moltiplicatore
- 3 è il moltiplicando
- 5 x 3 si legge five times three, cioè "5 volte 3"
A pagina 40 di questo testo c'è l definizione di moltiplicazione:
Multiplication is repeated addition, and it is written using a moltiplication symbol X, whitch is read as "times".E l'esempio riportato è:
5 + 5 + 5 + 5 = 4 x 5 = 20che si legge four times five is twenty, "quattro volte cinque è uguale a venti".
Anche da noi la moltiplicazione è una somma ripetuta ed è in sostanza un modo compatto di scrivere una somma. Solo che da noi la moltiplicazione scritta come 5 x 3 si legge in un altro modo:
- 5 è il moltiplicando
- 3 è il moltiplicatore
- 5 x 3 si legge "5 sommato per 3 volte", oppure "5 per 3 volte", oppure in breve "5 per 3"
Cioè, da noi, 5 x 3 è uguale a 5 + 5 + 5. Lo si può vedere, ad esempio, anche in vecchissimi testi settecenteschi e ottocenteschi anche questi reperibili su Google Libri. Ad esempio a pagina 2 di Lezioni di matematica elementare del p. Francesco Luino gesuita del 1772, dove è scritto:
Moltiplicare una quantità per un'altra egli è lo stesso, che prendere quella tante volte, quante n'esprime questa, o essa esprima unità intere, o parti qualunque dell'unità: la prima si chiama moltiplicando, la seconda moltiplicatore, amendue con comune vocabolo fattori, e chiocché si ha dopo la moltiplicazione chiamasi prodotto.
Sarebbe interessante vedere come la stessa definizione sia resa nei paesi francofoni o in quelli di lingua spagnola o tedesca. Ma la cosa interessante e sorprendente è che 5 x 3 in Italia significa una cosa, mentre negli Stati Uniti ne significa un'altra. Per noi significa, ad esempio, 3 sacchi contenenti 5 patate, da loro invece 5 sacchi contenenti 3 patate. Ma ancor peggio, è diverso se un dottore prescrive una scatola di 15 pastiglie da prendere 3 volte al giorno per 5 giorni oppure ne prescrive 15 da prendere 5 volte per 3 giorni: nel primo caso magari il paziente guarisce, nel secondo caso è possibile che il paziente venga ucciso per avvelenamento da farmaci.
La matematica è davvero un'opinione...
La definizione stessa della moltiplicazione nei numeri naturali (N) è diversa da quella nei numeri reali (R). In R il prodotto è assiomaticamente una delle due operazioni richieste nei campi e il suo risultato è anch'esso un numero reale. In N è semplicemente addizionare il numero A per B volte. Ci sono però autori che non considerano la moltiplicazione in N come commutativa, proprio per il fatto che nella pratica la moltiplicazione è la somma di A oggetti sommati B volte: A ha una sua unità di misura (mele, pere, patate, pastiglie, euro, ecc.) mentre il moltiplicatore B esprime solo quante volte deve essere ripetuta la somma di A.
Ci sono altre "opinioni" in matematica che la rendono, appunto, opinabile, e su cui i matematici litigano da secoli: l'esistenza di radici quadrate di numeri negativi (negate dai più, ma prese in considerazione da alcuni autori), l'inclusione dello "0" nell'insieme dei numeri naturali (rispettando gli assiomi di Peano si può avere una definizione che lo include e un'altra che lo esclude), la somma di oggetti che vanno alla velocità della luce che non può superarla, per cui c + c è minore di c, cosa che ha costretto Einstein a utilizzare le trasformazioni di Lorentz per avere una somma in cui 1 +1 non fa 2.
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